Skip to content

Category: Seminar name

2021.10.27 Jerzy Kąkol, UAM Poznań

O charakteryzacji (i własnościach) \( \Delta \)-przestrzeni \( X \) (w sensie Reeda) w terminach przestrzeni funkcji ciągłych \( C(X) \)

The seminar will take place in room 1016.

W 1975 roku Reed (zob. [7], [4]) wyróżnił (pod nazwą \(\Delta\)-zbiorów) te nieprzeliczalne podzbiory \( D \) przestrzeni liczb rzeczywistych \( \mathbb{R} \) (z topologią naturalną), które mają następujęcą a własność:

Dla każdego malejącego ciągu \( (H_{n})_{n} \) zbiorów w \( D \) takich, że \( \bigcap_n H_{_n}=\emptyset \) istnieje ciąg \( G_{\delta} \) -zbiorów w \( D \) taki, że \( H_{n}\subset V_{n},\, n\in\mathbb{N} \) oraz \( \bigcap_{n}V_{n}=\emptyset. \)

Przymusiński pokazał [6], że istnienie \( \Delta \) -zbioru w \( \mathbb{R} \) jest równoważne istnieniu przeliczalnie parazwartej ośrodkowej przestrzeni Moora nie będącej normalną.

Badania wokół \( \Delta \)-zbiorów ściśle związane z badaniami \( \mathbb{Q} \)-zbiorów (w sensie Hausdorffa), te ostatnie nadal stanowią fundamentalne wyzwania w teorii mnogości.

W pracy [2] pojęcie \( \Delta \) -zbioru zostało rozszerzone do dowolnej przestrzeni topologicznej \( X \) :

Mówimy, że przestrzeń topologiczna \(X\) jest \(\Delta\)-przestrzenią a jeżeli dla każdego malejącego ciągu \((H_{n})_{n}\) zbiorów w \(X\) takich, że \(\bigcap_n H_{_n}=\emptyset\) istnieje ciąg \((V_{n})_{n}\) otwartych zbiorów w \(X\) takich, że \(H_{n}\subset V_{n},\, n\in\mathbb{N}\), oraz \(\bigcap_{n}V_{n}=\emptyset\).

Pojęcie to pozwoliło uzyskać charakteryzację tych przestrzeni \( C_{p}(X) \) (tj. przestrzeni funkcji ciągłych z topologią zbieżności punktowej określonych na przestrzeni Tichonowa \( X \) ), które są wyróżnione (distingushed spaces). Ta ostatnia własność była intensywnie badana w klasie przestrzeni Frécheta, w szczególności przestrzeni Köthego \( \lambda_{p}(A) \) .

W pracy [2] pokazuje się, że przestrzeń \( X \) jest \( \Delta \) -przestrzenią wtedy i tylko wtedy gdy \( C_{p}(X) \) jest wyróżniona. Ten analityczny opis pozwolił uzyskać szereg nowych wyników dotyczących \( \Delta \) -zbiorów i \( \Delta \)-przestrzeni [2], [3], [5]. Alternatywne spojrzenie na wyróżnione przestrzenie \( C_p(X) \) prezentowane było w [1].

Między innymi pokazano w pracy [2], każda zupełna w senie Čecha \( \Delta \) -przestrzeń jest rozproszona (scattered) i każda rozproszona zwarta przestrzeń Eberleina jest \( \Delta \)-przestrzenią; istnieją a jednak rozproszone zwarte przestrzenie \( X \) , które nie są a \( \Delta \)-przestrzeniami, np. \( [0,\omega_{1}] \) . Każda metryzowalna rozproszona przestrzeń topologiczna jest \( \Delta \)-przestrzenią. Podamy zastosowania tych wyników do badania przestrzeni Banacha \( C(K) \) oraz przestrzeni \( C_{p}(K) \) .

[1] J. C. Ferrando, S. A. Saxon, If not distinguished, is \( C_p(X) \) even close?, Proc. Amer. Math. Soc. 149 (2021) Volume 149, 2583–-2596.

[2] J. Kąkol, A. Leiderman, A characterization of \( X \) for which spaces \( C_p(X) \) are distinguished and its applications, Proc Amer. Math. Soc. 8 (2021), 86–99.

[3] J. Kąkol, A. Leiderman, Basic properties of \( X \) for which spaces \( C_p(X) \) are distinguished, Proc. Amer. Math. Soc. 8 (2021), 257–280.

[4] R. W. Knight, \( \Delta \) -Sets, Trans. Amer. Math. Soc. 339 (1993), 45–-60.

[5] A. Leiderman, V. V. Tkachuk, Pseudocompact $\Delta$-spaces are often scattered, Monatshefte für Math. 196 (2021).

[6] T. C. Przymusiński, Normality and separability of Moore spaces, Set-Theoretic Topology, Acad. Press, New York, 1977, 325–-337.

[7] G. M. Reed, On normality and countable paracompactness, Fund. Math. 110 (1980), 145–-152.

Leave a Comment

2021.10.20 Jerzy Grzybowski, UAM Poznań

Certain properties of Demyanov difference of convex sets

Adding and subtracting subsets of a vector space plays important role in nonsmooth analysis. There is no obvious difference of sets corresponding to the Minkowski (algebraic, vector) sum of sets. Demyanov difference is strictly related to Clarke subdifferential. We are going to compare Demyanov difference with other possible differences, present its new
properties and pose a few questions.

Leave a Comment

2021.10.13 Eva Pernecká, Czech Technical University, Prague

Functionals on Lipschitz spaces

We will study continuous linear functionals on Lipschitz spaces with a special focus on those belonging to canonical preduals, the Lipschitz-free spaces. First, we introduce a notion of support applicable to all continuous functionals. Then we will discuss their relation to measures. In particular, we will characterize the functionals represented by measures as those functionals that admit a Jordan-like decomposition into a positive and a negative part. We will see that such decomposition does not exist for all functionals in general, and we will identify the cases when it does.


The talk will be based on joint work with Ramón J. Aliaga.

Link to the talk (access via MS Teams)

Leave a Comment

2021.06.09 Piotr Pikul, Uniwersytet Jagielloński

On a ρ-orthogonality

ρ-orthogonality is one among many possible definitions of orthogonality in general normed spaces, related to the “derivatives” of the norm.

The talk is based on the article (of the same title) by Jacek Chmieliński and Paweł Wójcik (Aequat. Math. 2010). Apart from basic properties of the introduced notion, the class of maping preserving ρ-orthogonality will be considered.

Link to the talk.

Leave a Comment

2021.06.02 Marek Cúth, Univerzita Karlova, Praha

The complexity of isometry classes of Banach spaces

I will present our joint work with M. Doucha, M. Doležal and O. Kurka, where we develop a new natural topological approach to coding of separable Banach spaces. It makes meaningful questions such as which Banach spaces are the easiest to define, up to isometry (and also up to isomorphism), or which classes of Banach spaces are the easiest to define – in the descriptive set-theoretic framework. The plan is first to motivate our choice of the topological framework (first half of the seminar) and then (in the second half of the seminar) to concentrate on our results concerning complexities: among the results, there are new characterizations of the separable infinite-dimensional Hilbert space as the separable infinite-dimensional Banach space whose both isometry and isomorphism classes are the easiest to define among Banach spaces (such statements are made absolutely precise); and precise characterization of the complexity of the isometry classes of the most classical Banach spaces such as \(L_p[0,1]\), \(\ell_p\), for finite \(1\leq p\), \(c_0\), and also of the Gurarii space. The paper opens a new area for research and at the end, I will suggest several open problems.

Link to the talk.

Leave a Comment

2021.05.19 Hugh Wark, York

Equilateral sets in large Banach spaces

A subset of a Banach space is called equilateral if the distances between any two of its distinct points are the same. In this talk it will be shown that there exist non separable Banach spaces with no uncountable equilateral sets and indeed non separable Banach spaces with no infinite equilateral sets.

Link to the talk.

Leave a Comment

2021.05.05 Javier Cabello Sánchez, Universidad de Extremadura

Any isometry between the spheres of 2-dimensional Banach spaces is linear

Abstract: The famous Tingley’s Problem asks whether every onto isometry between the unit spheres of Banach spaces can be extended to an isometry between the spaces – in this case, the Mazur–Ulam Theorem ensures that the isometry between the spaces would be linear. This Problem is far from been solved, but at least the two-dimensional case has been solved recently in a series of works by the author and Professor Tarás Banakh. In this seminar we will show how a miscellany of several kinds of tools (single variable calculus, linear algebra, differential equations) has allowed to prove the following statement: If X and are two-dimensional Banach spaces, then every isometry between their unit spheres extends to an isometry between X and Y.

Leave a Comment

2021.04.28 Thomas Zürcher, Uniwersytet Śląski, Katowice

Lorentz spaces and non-differentiability of functions

Abstract: A famous theorem by Rademacher states that Lipschitz functions are differentiable almost everywhere. In this talk, we will look at Sobolev spaces with derivatives in Lorentz spaces and an infinitesimal Lipschitz constant to investigate to which extent Rademacher’s theorem can be generalized.

Leave a Comment