Skip to content

2021.10.27 Jerzy Kąkol, UAM Poznań

O charakteryzacji (i własnościach) \( \Delta \)-przestrzeni \( X \) (w sensie Reeda) w terminach przestrzeni funkcji ciągłych \( C(X) \)

The seminar will take place in room 1016.

W 1975 roku Reed (zob. [7], [4]) wyróżnił (pod nazwą \(\Delta\)-zbiorów) te nieprzeliczalne podzbiory \( D \) przestrzeni liczb rzeczywistych \( \mathbb{R} \) (z topologią naturalną), które mają następujęcą a własność:

Dla każdego malejącego ciągu \( (H_{n})_{n} \) zbiorów w \( D \) takich, że \( \bigcap_n H_{_n}=\emptyset \) istnieje ciąg \( G_{\delta} \) -zbiorów w \( D \) taki, że \( H_{n}\subset V_{n},\, n\in\mathbb{N} \) oraz \( \bigcap_{n}V_{n}=\emptyset. \)

Przymusiński pokazał [6], że istnienie \( \Delta \) -zbioru w \( \mathbb{R} \) jest równoważne istnieniu przeliczalnie parazwartej ośrodkowej przestrzeni Moora nie będącej normalną.

Badania wokół \( \Delta \)-zbiorów ściśle związane z badaniami \( \mathbb{Q} \)-zbiorów (w sensie Hausdorffa), te ostatnie nadal stanowią fundamentalne wyzwania w teorii mnogości.

W pracy [2] pojęcie \( \Delta \) -zbioru zostało rozszerzone do dowolnej przestrzeni topologicznej \( X \) :

Mówimy, że przestrzeń topologiczna \(X\) jest \(\Delta\)-przestrzenią a jeżeli dla każdego malejącego ciągu \((H_{n})_{n}\) zbiorów w \(X\) takich, że \(\bigcap_n H_{_n}=\emptyset\) istnieje ciąg \((V_{n})_{n}\) otwartych zbiorów w \(X\) takich, że \(H_{n}\subset V_{n},\, n\in\mathbb{N}\), oraz \(\bigcap_{n}V_{n}=\emptyset\).

Pojęcie to pozwoliło uzyskać charakteryzację tych przestrzeni \( C_{p}(X) \) (tj. przestrzeni funkcji ciągłych z topologią zbieżności punktowej określonych na przestrzeni Tichonowa \( X \) ), które są wyróżnione (distingushed spaces). Ta ostatnia własność była intensywnie badana w klasie przestrzeni Frécheta, w szczególności przestrzeni Köthego \( \lambda_{p}(A) \) .

W pracy [2] pokazuje się, że przestrzeń \( X \) jest \( \Delta \) -przestrzenią wtedy i tylko wtedy gdy \( C_{p}(X) \) jest wyróżniona. Ten analityczny opis pozwolił uzyskać szereg nowych wyników dotyczących \( \Delta \) -zbiorów i \( \Delta \)-przestrzeni [2], [3], [5]. Alternatywne spojrzenie na wyróżnione przestrzenie \( C_p(X) \) prezentowane było w [1].

Między innymi pokazano w pracy [2], każda zupełna w senie Čecha \( \Delta \) -przestrzeń jest rozproszona (scattered) i każda rozproszona zwarta przestrzeń Eberleina jest \( \Delta \)-przestrzenią; istnieją a jednak rozproszone zwarte przestrzenie \( X \) , które nie są a \( \Delta \)-przestrzeniami, np. \( [0,\omega_{1}] \) . Każda metryzowalna rozproszona przestrzeń topologiczna jest \( \Delta \)-przestrzenią. Podamy zastosowania tych wyników do badania przestrzeni Banacha \( C(K) \) oraz przestrzeni \( C_{p}(K) \) .

[1] J. C. Ferrando, S. A. Saxon, If not distinguished, is \( C_p(X) \) even close?, Proc. Amer. Math. Soc. 149 (2021) Volume 149, 2583–-2596.

[2] J. Kąkol, A. Leiderman, A characterization of \( X \) for which spaces \( C_p(X) \) are distinguished and its applications, Proc Amer. Math. Soc. 8 (2021), 86–99.

[3] J. Kąkol, A. Leiderman, Basic properties of \( X \) for which spaces \( C_p(X) \) are distinguished, Proc. Amer. Math. Soc. 8 (2021), 257–280.

[4] R. W. Knight, \( \Delta \) -Sets, Trans. Amer. Math. Soc. 339 (1993), 45–-60.

[5] A. Leiderman, V. V. Tkachuk, Pseudocompact $\Delta$-spaces are often scattered, Monatshefte für Math. 196 (2021).

[6] T. C. Przymusiński, Normality and separability of Moore spaces, Set-Theoretic Topology, Acad. Press, New York, 1977, 325–-337.

[7] G. M. Reed, On normality and countable paracompactness, Fund. Math. 110 (1980), 145–-152.

Leave a Reply

Your email address will not be published.