O charakteryzacji (i własnościach) \Delta -przestrzeni X (w sensie Reeda) w terminach przestrzeni funkcji ciągłych C(X)
The seminar will take place in room 1016.
W 1975 roku Reed (zob. [7], [4]) wyróżnił (pod nazwą \Delta-zbiorów) te nieprzeliczalne podzbiory D przestrzeni liczb rzeczywistych \mathbb{R} (z topologią naturalną), które mają następujęcą a własność:
Dla każdego malejącego ciągu (H_{n})_{n} zbiorów w D takich, że \bigcap_n H_{_n}=\emptyset istnieje ciąg G_{\delta} -zbiorów w D taki, że H_{n}\subset V_{n},\, n\in\mathbb{N} oraz \bigcap_{n}V_{n}=\emptyset.
Przymusiński pokazał [6], że istnienie \Delta -zbioru w \mathbb{R} jest równoważne istnieniu przeliczalnie parazwartej ośrodkowej przestrzeni Moora nie będącej normalną.
Badania wokół \Delta -zbiorów ściśle związane z badaniami \mathbb{Q} -zbiorów (w sensie Hausdorffa), te ostatnie nadal stanowią fundamentalne wyzwania w teorii mnogości.
W pracy [2] pojęcie \Delta -zbioru zostało rozszerzone do dowolnej przestrzeni topologicznej X :
Mówimy, że przestrzeń topologiczna X jest \Delta-przestrzenią a jeżeli dla każdego malejącego ciągu (H_{n})_{n} zbiorów w X takich, że \bigcap_n H_{_n}=\emptyset istnieje ciąg (V_{n})_{n} otwartych zbiorów w X takich, że H_{n}\subset V_{n},\, n\in\mathbb{N}, oraz \bigcap_{n}V_{n}=\emptyset.
Pojęcie to pozwoliło uzyskać charakteryzację tych przestrzeni C_{p}(X) (tj. przestrzeni funkcji ciągłych z topologią zbieżności punktowej określonych na przestrzeni Tichonowa X ), które są wyróżnione (distingushed spaces). Ta ostatnia własność była intensywnie badana w klasie przestrzeni Frécheta, w szczególności przestrzeni Köthego \lambda_{p}(A) .
W pracy [2] pokazuje się, że przestrzeń X jest \Delta -przestrzenią wtedy i tylko wtedy gdy C_{p}(X) jest wyróżniona. Ten analityczny opis pozwolił uzyskać szereg nowych wyników dotyczących \Delta -zbiorów i \Delta -przestrzeni [2], [3], [5]. Alternatywne spojrzenie na wyróżnione przestrzenie C_p(X) prezentowane było w [1].
Między innymi pokazano w pracy [2], każda zupełna w senie Čecha \Delta -przestrzeń jest rozproszona (scattered) i każda rozproszona zwarta przestrzeń Eberleina jest \Delta -przestrzenią; istnieją a jednak rozproszone zwarte przestrzenie X , które nie są a \Delta -przestrzeniami, np. [0,\omega_{1}] . Każda metryzowalna rozproszona przestrzeń topologiczna jest \Delta -przestrzenią. Podamy zastosowania tych wyników do badania przestrzeni Banacha C(K) oraz przestrzeni C_{p}(K) .
[1] J. C. Ferrando, S. A. Saxon, If not distinguished, is C_p(X) even close?, Proc. Amer. Math. Soc. 149 (2021) Volume 149, 2583–-2596.
[2] J. Kąkol, A. Leiderman, A characterization of X for which spaces C_p(X) are distinguished and its applications, Proc Amer. Math. Soc. 8 (2021), 86–99.
[3] J. Kąkol, A. Leiderman, Basic properties of X for which spaces C_p(X) are distinguished, Proc. Amer. Math. Soc. 8 (2021), 257–280.
[4] R. W. Knight, \Delta -Sets, Trans. Amer. Math. Soc. 339 (1993), 45–-60.
[5] A. Leiderman, V. V. Tkachuk, Pseudocompact $\Delta$-spaces are often scattered, Monatshefte für Math. 196 (2021).
[6] T. C. Przymusiński, Normality and separability of Moore spaces, Set-Theoretic Topology, Acad. Press, New York, 1977, 325–-337.
[7] G. M. Reed, On normality and countable paracompactness, Fund. Math. 110 (1980), 145–-152.